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两位数学家推动素数计数方法重要突破。

原标题：两位数学家发现素数计数新方法，原来「p²+nq²」形式的素数真有无限多个
文章来源：机器之心
内容字数：6103字

素数新突破：数学家找到计数素数的新方法

素数，只能被自身和1整除的数，是数学中最基本的组成部分。尽管看似随机分布于数轴上，但素数的分布并非完全随机，蕴含着复杂的规律，吸引着数学家们几个世纪的探索。本文介绍了牛津大学的Ben Green和哥伦比亚大学的Mehtaab Sawhney近期取得的重大突破：他们证明了存在无穷多个形如p²+4q²的素数，其中p和q也必须是素数，从而加深了我们对素数分布的理解。

1. 长期挑战与新突破

   数学家们长期致力于研究素数的分布规律，尝试证明特定类型素数的无限性。限制条件越严格，证明难度越大。Friedlander和Iwaniec在2018年提出的问题——是否存在无穷多个形如p²+4q²的素数（p和q也为素数）——就是一个极具挑战性的难题。Green和Sawhney的证明解决了这个问题，为素数研究带来了新的进展。

2. 合作与巧妙策略

   Green和Sawhney在爱丁堡的一次会议上相遇，决定合作解决Friedlander和Iwaniec的猜想。他们意识到传统的计数技术难以奏效，转而采用了一种迂回策略：先证明一个较弱的版本，其中p和q为“粗略素数”（rough prime，即不被较小素数整除的数）。粗略素数比素数更容易处理，其分布的随机性更低。

3. Gowers范数的巧妙应用

   Green和Sawhney证明了，通过对两个粗略素数求平方并相加可以得到无穷多个素数。接下来，他们需要证明这个结论也适用于真实的素数。为此，他们利用了Gowers范数——一种用于衡量函数或数集随机性或结构化程度的数学工具。借助陶哲轩和Tamar Ziegler的成果，他们将Gowers范数与素数集合的特定函数集（I型和II型和）联系起来，证明了使用粗略素数和真实素数得到的集合具有相同的I型和II型和，从而证明了原始猜想。

4. 意义与展望

   Green和Sawhney的工作不仅解决了长期悬而未决的难题，更重要的是，它展示了Gowers范数在素数研究中的强大潜力，为解决其他数论问题提供了新的工具和思路。这项研究成果也表明，不同数学领域的工具可以有效地结合起来，解决看似无法逾越的难题。未来，数学家们将进一步探索Gowers范数在数论和其他领域的应用，有望取得更多突破。

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